微分可能な回路・VQE・QAOA¶

シミュレータを通した勾配¶

任意のゲートパラメータに requires_grad=True の torch.Tensor を渡せます。ゲート行列・状態の時間発展（両実行モード）・確率・期待値まで、パイプライン全体が微分可能なtorch演算で構成されています:

import torch
from blueqat import Circuit
from blueqat.utils import Z

theta = torch.tensor(0.4, dtype=torch.float64, requires_grad=True)
energy = Circuit(1).rx(theta)[0].expect(1.0 * Z[0])
energy.backward()
theta.grad        # -sin(0.4)、厳密な解析勾配

このため変分アルゴリズムにパラメータシフト則は不要で、通常の torch.optim のオプティマイザがそのまま使えます。

パウリ演算子とハミルトニアン¶

blueqat.utils がパウリ代数を提供します:

from blueqat.utils import X, Y, Z, I, from_qubo, qubo_bit

h = 0.5 * Z[0] * Z[1] + 1.2 * X[0] - 3.0
h = h.simplify()
h.to_matrix(2)                   # 密/疎のtorch行列
term = (X[0] * Y[1]).to_term()
evo = term.get_time_evolution()  # exp(-i t P) を回路に追加する関数

from_qubo はQUBOのコスト行列をIsingハミルトニアンに変換します。

VQE¶

import torch
from blueqat import Circuit
from blueqat.utils import AnsatzBase, Vqe, Z, X

class MyAnsatz(AnsatzBase):
    def get_circuit(self, params):
        return Circuit(2).rx(params[0])[0].ry(params[1])[1].cx[0, 1]

hamiltonian = (1.0 * Z[0] * Z[1] + 0.5 * X[0]).simplify()
ansatz = MyAnsatz(hamiltonian, n_params=2)
result = Vqe(ansatz).run()
result.most_common(4)

Vqe は任意の torch.optim オプティマイザクラス、オプションのサンプラ（ショットベース推定の get_measurement_sampler(n) 、厳密で勾配を保つ non_sampling_sampler ）、 initial_params を受け取れます。

実行の再現と収束の確認¶

initial_params を渡さない場合、 Vqe.run() はランダムなパラメータから始まるため、同じ問題でも実行ごとに異なる局所最適解に落ちます。QAOAでは「最適解が見つかる確率」が実行ごとに大きく変わることもあります。 seed= を渡すと実行全体が決定的になります:

Vqe(ansatz, seed=42).run()          # または: Vqe(ansatz).run(seed=42)

1つのシードが両方の乱数を決めます。初期パラメータと、 get_measurement_sampler(n, seed=...) で作ったシード対応サンプラのサンプリングです。 Circuit.run(seed=...) と同じく専用の generator を使うので、グローバルな乱数には影響しません。

各実行は反復ごとの目的関数値を記録するので、別のオプティマイザで回し直さなくても収束の様子を確認できます:

result = Vqe(ansatz, seed=42).run()
len(result.loss_history)      # 実際に回った反復数
result.loss_history[-1]       # 最後に記録された目的関数値

ショット雑音とパラメータシフト則¶

ショットから期待値を推定すると autograd のグラフが失われます（カウントは数値であって、ゲート角の微分可能な関数ではありません）。そのためショットベースの目的関数には逆伝播できる勾配がありません。 Vqe はそれを検知してパラメータシフト則に切り替えます。同じ推定器を、ずらしたパラメータで評価することで勾配を得る方法です:

from blueqat.utils import get_measurement_sampler

vqe = Vqe(ansatz, sampler=get_measurement_sampler(2000, seed=3), seed=42)
result = vqe.run()          # 動く。逆伝播だけでは動かない

各ゲートの寄与は (E(theta + pi/2) - E(theta - pi/2)) / 2 で、有限差分の近似ではなく厳密です。これを autograd でアンザッツのパラメータへ連鎖させるので、QAOAの角のように1つのパラメータが多数のゲートを動かす場合も寄与が正しく合算されます。

gradient= で選択を上書きできます。 'backprop' は常に逆伝播（ショットサンプラでは失敗します）、 'parameter_shift' は常にシフト則、既定の 'auto' は目的関数が微分可能かどうかで選びます。シフト則はパラメータ付きゲート1適用あたり2回の追加実行を要するので、厳密経路での逆伝播の代わりに無条件で使うものではありません。

厳密に成り立つのは、生成子の固有値が2つでその差が1のゲートに限られます: rx ・ ry ・ rz ・ p / phase ・ rxx ・ ryy ・ rzz ・ cp ・ exch 。制御回転（ crx ・ cry ・ crz ）は固有値が4つで4項の規則が必要なため、黙って誤った勾配を返さずエラーにします。

parameter_shift_gradient() は同じ仕組みを直接公開しており、任意のアンザッツとエネルギー推定器に対してエネルギーと勾配を返します。

ショット数はどれくらい要るか¶

思ったより少なくて足ります。パラメータ27個のQAOA（K6のMax-Cut、 step=1 、 120反復）を、1回の推定あたり 100・1000・8000 ショットで最適化したところ、 どれも収束し、最適カットが得られる確率は 0.66〜0.72 でした。少ない側で劣化していないので、閾値があるとしても 100 より下です。

実行時間もこの3水準でほとんど変わりませんでした。ここが実用上の要点です。ショットベース実行のコストを支配するのは、シフト則が要求する回路実行の回数 （パラメータ付きゲート1適用あたり反復ごとに2回）であって、その中のショット数ではありません。ショット数を削って速くしようとしてもほとんど効きません。 効くのはパラメータ数か反復数を減らすことです。

ショット雑音は、確率的勾配降下法の雑音と似た振る舞いも見せます。上と同じ実験では、厳密勾配の参照が悪い局所解に落ちた一方、ショットベースの実行はすべて良い解に到達しました。ただしこれは1つの構成での事例で一般則ではありません （同じ問題は多くの初期値から良い解に到達します）。とはいえ、雑音のある勾配を単に劣化したものと決めてかからない理由にはなります。

QAOA¶

QaoaAnsatz は、項が互いに可換なハミルトニアン（自動チェックされます）から標準的なQAOAアンザッツを構築します:

from blueqat.utils import QaoaAnsatz, Vqe, from_qubo

qubo = [[1, 1], [1, 0]]
h = from_qubo(qubo)
ansatz = QaoaAnsatz(h.simplify(), step=2)
result = Vqe(ansatz).run()
print(result.most_common(2))

完全な自己検証付きプログラムはリポジトリの examples/maxcut_qaoa.py と examples/vqe_ground_state.py を参照してください。